เรื่องจริงที่เกิดขึ้น
มีไก่15 ตัวฆ่าเป็ดทิ้งเสีย 5 ตัว เหลือเท่าไร? เป็นโจทย์คณิตศาสตร์ชั้นป. 2 ครูเขียนบนกระดานดำให้นักเรียนตอบ เพื่อนข้าพเจ้าเป็นครูใหญ่โรงเรียนนี้ เดินผ่านห้องมาพอดีแล้วก็คิดในใจตอบ15 ตัว แต่ได้ยินนักเรียนตอบเสียงดังพร้อมกันว่า 10 ตัว ครูสอนบอกว่าถูก เหตุการณ์นี้เพื่อนมาเล่าให้ข้าพเจ้าฟังแล้วพูดกับข้าพเจ้าว่า “เดี๋ยวนี้เราโง่กว่าเด็กจึงตอบผิด เด็กมันเก่งกว่าจึงตอบถูก ข้าพเจ้าได้ยินก็อดคิดไม่ได้ว่า ทำไมการสอนคณิตศาสตร์มันสะเปะสะปะได้ถึงขนาดนี้ สัตว์โลกเกิดมามีกิจกรรมง่ายๆ แล้วก็จบชีวิตอย่างง่ายๆ ส่วนมนุษย์มีกิจกรรมแบบซับซ้อน บางคนแก้ปัญหาไม่ได้ นอนไม่หลับ ต้องกินยานอนหลับ บางคนเครียดจัดถึงกับจะฆ่าตัวตาย เหตุการณ์ต่างๆ เป็นเรื่องราวการคิดของมนุษย์ แต่ตัวเลขมีบทบาทมาก มีความละเอียดอยู่ในตัว
จาก ธัญ เสรีรมย์
การบวกคืออะไร?
การบวกคือ “การนำจำนวนเดิมรวมกับจำนวนใหม่”
หรืออาจจะพูดว่า เหตุการณ์ที่ 1 รวมกับ เหตุการณ์ที่ 2 ได้ เหตุการณ์สุดท้าย
เช่น เหตุการณ์ที่ 1 มีลูกโป่ง 3 ลูก ต่อมาเหตุการณ์ที่ 2 ได้ลูกโป่งมาเพิ่มอีก 2 ลูก เหตุการณ์สุดท้ายคือ 5 ลูก เราจะสนใจเฉพาะเหตุการณ์ที่อยู่ตรงหน้า ถ้าเราจะบันทึกเหตูการณ์ทั้งหมดโดยการถ่ายรูปก็จะได้ 3 รูป คือ เหตุการณ์ที่ 1 ภาพลูกโป่ง 3 ลูก ภาพเหตุการณ์ที่ 2 มีลูกโป่ง 2 ลูก ภาพเหตุการณ์สุดท้ายมีลูกโป่ง 5 ลูก ถ้าจะแปลงเป็นตัวเลขอีกครั้งก็จะได้ 3+2=5 แต่บางทีเราสอนเด็กมีลูกโป่ง 3 ลูก บวกกับลูกบอล 2 ลูกได้เท่าไร เด็กก็จะตอบ 5 ลูก คนถามเริ่มสะเปะสะปะ หมายความว่าเหตุการณ์แรกมีลูกโป่ง 3 ลูกกำลังคุยเกี่ยวกับเรื่องลูกโป่งแต่ไปเอาลูกฟุตบอลมาแซก ลองเชาว์ปัญญาเด็ก เด็กฉลาดตอบได้ถูกใจครู ครูตั้งคำถามใหม่มีช้าง 3 ตัว บวกกับเข็ม 2 เล่มได้เท่าไร เด็กเริ่มงงมองหน้าครู แล้วตอบว่า 5 ครูบอกว่าถูก เด็กเริ่มยิ้มอยู่ในใจว่า ทำไมเราถึงเก่งได้ เด็กดีใจนำปัญหานี้ไปถามผู้ใหญ่ที่บ้าน ผู้ใหญ่บอกว่าบวกกันไม่ได้ มันคนละชนิดกัน ช้างตัวใหญ่ เข็มอันเล็กจะมารวมกันได้อย่างไร อีกอย่างช้างมีหน่วยเป็นตัว ส่วนเข็มมีหน่วยเป็นเล่ม ก็บวกกันไม่ได้อีก เด็กฉลาดถึงกับงง เริ่มสเปะสะปะไร้ทิศทาง ครูจะสอนเด็กอย่างไร?ก็ขอให้มองข้ามฉอดหลายฉอดว่าในชั้นเรียนสูงขึ้น 3a+2b บวกกันไม่ได้ เพราะเป็นคนละชนิดกัน แต่ 3บาท+ 2สลึงได้เท่าไร เริ่มเป็นระบบขึ้นเพราะเป็นเงินตราเหมือนกัน แต่หน่วยต่างกันเราก็ปรับให้เป็นระบบได้ ( 3x4) สลึง + 2 สลึง =14 สลึง
โครงสร้าง
การบวกมี 3รูปแบบคือ
รูปแบบที่1. การบวกของจริง เช่น
เหตุการณ์ที่ 1 เหตุการณ์ที่ 2 เหตุการณ์สุดท้าย
รูปแบบที่2. การบวกด้วยภาพ เช่น
รูปแบบที่3 การบวกตัวเลข เช่น
าก ธัญ เสรีรมย์
การลบคืออะไร?
การลบคือ “การนำจำนวนอดีดหักออกจากจำนวนเดิม”
หรืออาจจะพูดว่า เหตุการณ์แรกที่ 1 หักออกด้วย เหตุการณ์อดีดที่ 2 ได้ เหตุการณ์สุดท้าย เช่น ถามว่า มีลูกโป่ง 3ลูก แตกไป 2ลูกเหลือเท่าไร? เหตุการณ์แรกมีลูกโป่ง 3 ลูก แตกไป 2 ลูกก็จะเหลือ 1 ลูก เมื่อเราบันทึกเหตุการณ์เป็นภาพถ่าย เหตุการณ์แรกมีลูกโป่ง 3 ลูก เหตุการณ์ที่สองเป็นอดีต ก็จะถ่ายภาพไม่ติดลูกโป่งแต่ติดซากลูกโป่ง 2ซาก ส่วนเหตุการณ์สุดท้ายก็จะถ่ายภาพเห็นลูกโป่ง 1 ลูก
เช่น ถามใหม่ว่า มีลูกโป่ง 3ลูกหายไป 2ลูกเหลือเท่าไร? ภาพแรกเห็น 3 ลูก ภาพสองเป็นภาพพื้นที่ว่างเปล่า ข้าพเจ้าขอตั้งชื่อภาพที่สองว่า “ เงาฆาต”ของลูกโป่ง2 ลูก จึงต้องเขียนเป็นเป็นรอยเงาลางๆ 2 เงา ภาพเหตุการณ์สุดท้าย เห็นลูกโป่งเพียง1 ลูกเท่านั้น ถ้าแปลงภาพเป็นตัวเลขก็จะได้ 3 - 2 = 1
จึงเกิดหลักความจริงว่า
ข้าพเจ้าเคยตั้งคำถามว่า
เจ้าแกละตอบ 3 ผู้ใหญ่ตอบ 1 เถียงกันไม่จบ เพราะเจ้าแกละมีโนภาพนก 5 ภาพ จึงตอบ 3 ผู้ใหญ่มีโนภาพนก 3 ภาพ ตอบ 1
แนวคิดใหม่
เจ้าแกละก็เห็นนก 3ภาพ ผู้ใหญ่ก็เห็นนก 3ภาพ เหมือนกัน เพราะ 2 คืออดีต ดังนั้นผู้ใหญ่ถามเด็กว่ามีช้าง 3ตัวเอาเข็มทิ้ง
2 เล่มเหลือเท่าไร ก็จะเป็นคำถามที่ตลก
โครงสร้าง
การลบมี 3รูปแบบคือ
รูปแบบที่1. การลบของจริง เช่น
เหตุการณ์ที่ 1 เหตุการณ์ที่ 2 เหตุการณ์สุดท้าย
รูปแบบที่2. การลบด้วยภาพ เช่น
รูปแบบที่3 การลบตัวเลข เช่น
จาก ธัญ เสรีรมย์
การคูณคืออะไร?
การคูณคือ “จำนวนทั้งหมดที่เรียงกันเป็นระบบโดยมีด้านกว้างสัมพันธ์กับด้านยาว”
หรือการคูณคือ การบวกของจำนวนที่เท่าๆ กัน
เช่น......
แทนด้วยตัวเลขได้ 3 x 4 ก็จะไปสอดคล้องกับพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า(เป็นระบบ)
ถ้าเรียงกันแบบสเปะสะปะก็ไม่สามารถจะคิดได้
โครงสร้าง
การคูณมี 3รูปแบบคือ
รูปแบบที่1. การคูณของจริง เช่น
รูปแบบที่2. การคูณด้วยภาพ มีมุมมองในเรื่องการคูณ โดยแนวกว้างสัมพันธ์แกับแนวยาว ในที่นี้
คือ 3 x 4 เช่น
เหตุการณ์ที่ 1 เหตุการณ์ที่ 2 เหตุการณ์สุดท้าย
รูปแบบที่3 การคูณตัวเลข เช่น
รือ มุมมองอีกรูปแบบหนึ่ง
รูปแบบที่2. การคูณด้วยภาพ มีมุมมองในเรื่องการบวก (การคูณคือการบวกของจำนวนที่เท่าๆ กัน) ในที่นี้ 4+4+4 เช่น
เหตุการณ์ที่ 1 เหตุการณ์ต่อๆ เหตุการณ์สุดท้าย
รูปแบบที่3 การคูณตัวเลข เช่น
4 + 4 + 4 = 12
จาก ธัญ เสรีรมย์
การหารคืออะไร?
การหาร คือ “จำนวนครั้งของการตวง”
เมื่อทำเป็นภาพผสมก็จะได้ภาพออกมาดังนี้ 12 / 4 = ? ตอบตวงได้ 3 ครั้ง
รียกเครื่องตวงในที่นี้ว่า ”เครื่องตวงพิเศษ” ที่จริงไม่มีตัวตนแต่ให้ใช้มโนภาพ เด็กก็จะเห็น
โครงสร้างเป็นภาพดังรูป โดยการตวง แล้วตอบ 3 ทันที ซึ่งต่อไปเด็กก็จะเรียนเรื่องเศษส่วน โดยภาพเช่นนี้ได้ง่าย
โครงสร้าง
การหารมี 3รูปแบบคือ
รูปแบบที่1. การหารของจริง ) เช่น
รูปแบบที่2. การหารด้วยภาพ มองในเรื่องการหาร ในที่นี้ 12/ 4 เช่น
เหตุการณ์ที่ 1 เหตุการณ์ที่ 2 เหตุการณ์สุดท้าย
รูปแบบที่3 การหารตัวเลข เช่น
จึงเกิดหลักความจริงว่า
จาก ธัญ เสรีรมย์
ศษส่วน คืออะไร?
เมื่อมองตัวเลขกลุ่มหนึ่งที่เรียงกันสะเปะสะปะ นั่นหมายความว่างวดนี้ หวยจะออกเลขอะไร
100 คนมองก็จะไม่ตรงกัน วันนี้ พรุ่งนี้ คนเดียวก็จะเพี้ยนไปเรื่อยตามอารมณ์
แต่ถ้าเลขตัวบนและตัวล่างมีขีดอยู่ตรงกลาง นั่นคือคณิตศาสตร์เรื่องเศษส่วน ทุกคนก็เห็นตัวเศษเป็นตัวตั้งตัวส่วนเป็นตัวหารก็ถูกต้อง น้อยคนจะนึกเป็นรูปภาพ เราจะมองเป็นภาพอย่างไรนั้น ก็มาทำความเข้าใจเบื่องต้นกันก่อน
ถ้าถามว่า
คือเท่าไร? ทุกคนก็จะตอบได้ว่า 1/4 ไม่ค่อยมีใครตอบเป็นอย่างอื่น ถามว่ารู้ได้อย่างไรว่า ส่วนในที่นี้คือ 1/4 ตามธรรมชาติรูปร่างลักษณะนี้ จุด
อ้างอิงคือ วง
กลม โดยมีเงาในใจพิเศษคือ 
ข้าพเจ้าเรียกจุดอ้างอิงนี้ว่าเงาเครื่องตวงพิเศษ ในที่นี้คือ
ถ้าถามว่า
คือเท่าไร? บางคนตอบว่า 1 บางคนตอบว่า 1/2
แล้วใครตอบถูก แต่ละคนมีเครื่องตวงพิเศษในใจต่างกัน
แต่ถ้ามีสิ่งแวดล้อมประกอบอยู่ข้าง 
ก็จะตอบว่า 1/2
แต่ถ้าสิ่งแวดล้อมประกอบอยู่ข้าง
เงาเครืองตวงพิเศษไม่เหมือนกัน 
หรือ 
ถ้าถามว่า
และเงาเครื่องตวงพิเศษมาช่วย เช่น
ด็กก็จะมองง่ายคิดในใจได้ 
หรือ 
จาก ธัญ เสรีรมย์
การหารผูกพันกับเศษส่วน
ขอย้อนกับมาเรื่องการหารต่อ บางคนสอนว่าการคูณคือ การบวกครั้งละเท่าๆ กันก็ถูก แต่การหารคือการหักออกครังละเท่าๆ กันนั้นก็หมายความว่าเหตุการณ์สุดท้าย คงไม่เหลืออะไร ซึ่งไม่ถูกต้อง เหตุการสุดท้ายจะต้องมีตัวตนให้เห็น 12/4 = ? หรือจะแสดงวิธีคิดในรูปเศษส่วนได้ดังนี้
12/4 = 4/4 +4/4 +4/4 = 1+ 1+ 1 = 3 ตอบ 3
คณิตศาสตร์เริ่มซับซ้อนขึ้นถ้าพื้นฐานไม่แน่นก็จะงงและไม่เข้าใจ เรียนสูงต่อไปก็จะมีเรื่องการผสมคูณหารบวกลบ นั่นคือการบวกลบเศษส่วน การบวกลบเศษส่วนอย่างง่าย ตัวส่วนหรือ เงาเครื่องตวงพิเศษจะเท่ากัน แต่การบวกลบเศษส่วนอย่างยากตัวส่วนหรือเงา เครื่องตวงพิเศษจะไม่เท่ากัน เราจะเอาเลือกเอาเครื่องตวงไหนเป็นเกณฑ์อ้างอิง ดังนั้นจำเป็นต้องมาหา ค.ร.น. ซึ่งก็ไม่ยากถ้าสร้างมโนภาพได้...
จาก ธัญ เสรีรมย์
คณิตศาสตร์คืออะไร?
ถ้าเราให้ความหมายยาวยาก คณิตศาสตร์ก็จะยาวและยากไปด้วย ความหมาย คณิตศาสตร์ที่สั้น ก็คือศิลปของการคิด ก็มีคำถามต่อไปอีกว่า คิดอย่างไร?
ข้าพเจ้าให้ความหมายดังนี้
คณิตศาสตร์ คือ “การเรียงลำดับเหตุการณ์ที่ซับซ้อนให้เป็นระบบ เพื่อคำนวณหาเหตูการณ์สุดท้าย หรือคำนวณหาจุดเริ่มต้น......”
ถ้าเข้าใจความหมายนี้ คณิตศาสตร์ ก็จะเป็นเรื่องง่ายๆ ดังนั้นคำถาม ปัญหาโจทย์น่าคิด ก็จะคิดง่ายเช่นกัน
จาก ธัญ เสรีรมย์